פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

גרף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:

${\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;$

לפונקציה $1/\ln(t)$ יש סינגולריות בתחום t=1, ולכן הפונקציה מוגדרת במדויק לכל $x<1$, ומוגדרת לכל $x>1$ באמצעות הערך הראשי של קושי (Cauchy Princpal value), בנוסחה:

${\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).\;$

פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך

פונקציית האינטגרל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגרתמי של אוילר מוגדרת להיות:

${\rm {Li}}(x)={\rm {li}}(x)-{\rm {li}}(2)\,$

או בצורה אינטגרלית:

${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\,$.

פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית, והיא מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-x.

הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

הצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי

לפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי (Ei(x)) על ידי המשוואה:

${\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!$

שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:

${\rm {li}}(e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,$

חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:

${\rm {li}}(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.$

הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית

ניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. לדוגמה:

${\rm {li}}(x)=O\left({x \over \ln x}\right)\;.$

כאשר O הוא סימון לנדאו. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:

${\rm {li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$

או:

${\frac {{\rm {li}}(x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .$

רישום זה גורר לרישם הבא:

${\rm {li}}(x)-{x \over \ln x}=O\left({x \over \ln ^{2}x}\right)\;.$

הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של איברים.

ערכים מיוחדים של הפונקציה

לפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא x ≈ 1.45136 92348 ... .בנוסף לכך, הערך של הפונקציה בנקודה x=2 הוא $-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )$ כאשר $\Gamma \left(a,x\right)$ היא פונקציית גמא הלא שלמה.

ראו גם

• מספר סקיוז
• משפט המספרים הראשוניים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי בוויקישיתוף

• פונקציית האינטגרל הלוגריתמי, באתר MathWorld (באנגלית)